Phương pháp toạ độ trong không gian

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ viết phương trình mặt cầu tâm $I\left(-2; 10;-4 \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(Oxz \right).$
A. ${{\left(x+2 \right)}^{2}}+{{\left(y-10 \right)}^{2}}+{{\left(z+4 \right)}^{2}}=100.$
B. ${{\left(x+2 \right)}^{2}}+{{\left(y-10 \right)}^{2}}+{{\left(z+4 \right)}^{2}}=10.$
C. ${{\left(x-2 \right)}^{2}}+{{\left(y+10 \right)}^{2}}+{{\left(z-4 \right)}^{2}}=100.$
D. ${{\left(x+2 \right)}^{2}}+{{\left(y-10 \right)}^{2}}+{{\left(z+4 \right)}^{2}}=16.$

Solution

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ tính khoảng cách từ điểm $M\left(1; 2;-3 \right)$ đến mặt phẳng $\left(P \right):x+2y-2z-2=0.$
A. 1.
B. $\dfrac{11}{3}.$
C. $\dfrac{1}{3}.$
D. 3.

Solution

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left(P \right):x+2y+3z-5=0$ có một véc-tơ pháp tuyến là
A. $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left(-1; 2; 3 \right).$
B. $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left(3; 2; 1 \right).$
C. $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left(1; 2;-3 \right).$
D. $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left(1; 2; 3 \right).$

Solution

Mặt phẳng $\left(P \right):x+2y+3z-5=0$ có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left(1; 2; 3 \right).$

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ đường thẳng
$d:\left\{ \begin{aligned}

& x=2-t \\

& y=1+2t \\

& z=3+t \\

\end{aligned} \right.$
có một véc-tơ chỉ phương là
A. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left(2; 1; 1 \right).$
B. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left(2; 1; 3 \right).$
C. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left(-1; 2; 1 \right).$
D. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left(-1; 2; 3 \right).$

Solution

Đáp án C.

 

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}.$ Khi đó tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{a}$ là
A. $\left(2; 0;-3 \right).$
B. $\left(2;-3; 0 \right).$
C. $\left(0; 2;-3 \right).$
D. $\left(0; 2; 3 \right).$

Solution

Đáp án C.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left(1; 2; 2 \right),$ $B\left(3;-3;-1 \right),$ $C\left(-1; 0; 2 \right)$ và mặt phẳng $\left(P \right):2x+y+2z-1=0.$ Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng $\left(P \right),$ giá trị nhỏ nhất của $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|$ bằng:
A. $\dfrac{10}{3}$
B. $\dfrac{5}{3}$
C. $2$
D. $1$

Solution

Gọi $I\left(x; y; z \right)$ là điểm thỏa $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left(1-x \right)+2\left(3-x \right)+3\left(-1-z \right)=0 \\
& \left(2-y \right)+2\left(-3-y \right)+3\left(-y \right)=0 \\
& \left(2-z \right)+2\left(-1-z \right)+3\left(2-z \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$ $\Rightarrow I\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3}; 1 \right).$ Khi đó $T=\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|=\left| 6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right|=6MI.$ $\Rightarrow $ $T$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $MI$ nhỏ nhất.
Mà điểm $M$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left(P \right)$ nên $MI$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI=d\left(I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}+2-1 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{5}{9}.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|$ bằng $6MI=\dfrac{10}{3}.$

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left(2; 0; 0 \right), B\left(0; 2; 0 \right)$ và cắt mặt cầu $\left(S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left(z-3 \right)}^{2}}=4$ theo giao truyến là đường tròn lớn.
A. $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=0.$
B. $x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.$
C. $2x+2y+3z-4=0.$
D. $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.$

Solution

Vì mặt phẳng $\left(P \right)$ cắt mặt cầu $\left(S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn lớn nên mặt phẳng $\left(P \right)$ đi qua tâm $I\left(0; 0; 3 \right)$ của mặt cầu $\left(S \right).$ Vậy $\left(P \right)$ đi qua 3 điểm $A\left(2; 0; 0 \right), B\left(0; 2; 0 \right)$ và $I\left(0; 0; 3 \right).$ Suy ra $\left(P \right):\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.$

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-1}{-1}$ và điểm $A\left(1; 2; 3 \right).$ Đường thẳng $\Delta $ qua $A$ cắt và vuông góc với $d$ có phương trình là:
A. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}{-3}.$
B. $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}{3}.$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{5}.$
D. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z+3}{3}.$

Solution

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2+2t \\
& z=1-t \\
\end{aligned} \right..$
Véc tơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=\left(1; 2;-1 \right).$ Gọi $B=d\cap \Delta \Rightarrow B\left(1+t; 2+2t; 1-t \right).$ Véc tơ chỉ phương của $\Delta $ là $\overrightarrow{AB}=\left(t; 2t;-t-2 \right).$ Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t+4t+t+2=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{3}.$ Khi đó: $\overrightarrow{AB}=\left(\dfrac{-1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{-5}{3} \right)=-\dfrac{1}{3}\left(1; 2; 5 \right)=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{v}.$ Phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $A$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$ là: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{5}.$

Đáp án C.

 

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P \right):3x-3y+2z-5=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned} & x=-1+2t \\ & y=3+4t \\ & z=3t \\ \end{aligned} \right.\left(t\in \mathbb{R} \right).$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. $d$ cắt $\left(P \right).$
B. $d\subset \left(P \right).$
C. $d//\left(P \right).$
D. $d\bot \left(P \right).$

Solution

Giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(P \right)$ thỏa mãn phương trình: $3\left(-1+2t \right)-3\left(3+4t \right)+2\left(3t \right)-5=0\Leftrightarrow 0t=17$ (vô nghiệm). Từ đó suy ra đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left(P \right).$

Đáp án C.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $I\left(1;-1; 1 \right)$ và mặt phẳng $\left(P \right)$ có phương trình $2x-2y+z+1=0.$ Phương trình của mặt cầu có tâm $I$ và tiếp xúc với $\left(P \right)$ là
A. ${{\left(x-1 \right)}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}+{{\left(z-1 \right)}^{2}}=2.$
B. ${{\left(x+1 \right)}^{2}}+{{\left(y-1 \right)}^{2}}+{{\left(z+1 \right)}^{2}}=4.$
C. ${{\left(x-3 \right)}^{2}}+{{\left(y+3 \right)}^{2}}+{{\left(z-1 \right)}^{2}}=3.$
D. ${{\left(x-1 \right)}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}+{{\left(z-1 \right)}^{2}}=4.$

Solution

Ta có mặt cầu tiếp xúc với mp $\left(P \right)$ nên bán kính mặt cầu là $R=d\left(I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+2+1+1 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=2.$ Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-1; 1 \right)$ bán kính $R=2$ là ${{\left(x-1 \right)}^{2}}+{{\left(y+1 \right)}^{2}}+{{\left(z-1 \right)}^{2}}=4.$

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left(S \right):{{\left(x-2 \right)}^{2}}+{{\left(y-3 \right)}^{2}}+{{\left(z+1 \right)}^{2}}=25$ đi qua điểm nào dưới đây.
A. $M\left(6; 0;-1 \right).$
B. $N\left(3;-3;-1 \right).$
C. $P\left(-1;-1;-5 \right).$
D. $Q\left(-2; 1;-2 \right).$

Solution

Thay tọa độ điểm $M\left(6; 0;-1 \right)$ vào phương trình cho mặt cầu $\left(S \right)$ ta có: ${{\left(6-2 \right)}^{2}}+{{\left(0-3 \right)}^{2}}+{{\left(-1+1 \right)}^{2}}=25$ nên điểm $M\in \left(S \right).$

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left(1; 2;-3 \right), B\left(-3; 0; 1 \right).$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ là
A. $2x+y-2z-1=0.$
B. $2x+y-2z-10=0.$
C. $2x+y-2z-8=0.$
D. $2x+y-2z+1=0.$

Solution

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AB\Rightarrow I\left(-1; 1;-1 \right).$ Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ qua điểm $I$ và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2; 4 \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ là: $-4\left(x+1 \right)-2\left(y-1 \right)+4\left(z+1 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y-2z-1=0.$

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left(4; 2; 1 \right).$ Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ có tọa độ là
A. $\left(0; 2; 0 \right).$
B. $\left(0; 2; 1 \right).$
C. $\left(4; 2; 1 \right).$
D. $\left(4; 0; 0 \right).$

Solution

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M\left(0; 0; 0 \right), N\left(0; n; 0 \right), P\left(0; 0; p \right)$ không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng $\left(MNP \right)$
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
D. $\dfrac{1}{27}$.

Solution

Ta có $\left(MNP \right):\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1$ và $d\left(O,\left( MNP \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}}}$ Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copski ta có: $\left({{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}} \right)\left(\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}} \right)\ge 9\Leftrightarrow 3\left(\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}} \right)\ge 9\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}\ge 3$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}}\le \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}}}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (MNP) lớn nhất bằng $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Đáp án C.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left(z-1 \right)}^{2}}=4$ và điểm $A\left(2; 2; 1 \right)$. Từ điểm A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC, AD với B, C, D là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng $\left(BCD \right)$.
A. $2x+2y+z-1=0$.
B. $2x+2y+z+1=0$.
C. $2x+2y+z-3=0$.
D. $2x+2y+z-5=0$.

Solution

Mặt cầu có tâm $I\left(0; 0; 1 \right)$ và bán kính $R=2$. Mặt phẳng $\left(BCD \right)$ có vtpt là vec tơ $\overrightarrow{IA}=\left(2; 2; 1 \right)\Rightarrow IA=3$ Gọi H là giao điểm và (BCD).
Khi đó $IH. IA=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow IH=\dfrac{I{{B}^{2}}}{IA}=\dfrac{{{R}^{2}}}{IA}=\dfrac{4}{3}$ Ta có $\overrightarrow{IH}=\dfrac{IH}{IA}\overrightarrow{IA}=\dfrac{4}{9}\overrightarrow{IA}\Rightarrow H\left(\dfrac{8}{9};\dfrac{8}{9};\dfrac{13}{9} \right)$ Khi đó $\left(BCD \right):2\left(x-\dfrac{8}{9} \right)+2\left(y-\dfrac{8}{9} \right)+1.\left(z-\dfrac{13}{9} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left(BCD \right):2x+2y+z-5=0$

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S \right):{{\left(x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left(z-2 \right)}^{2}}=9$. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left(S \right)$ tại điểm $A\left(1; 3; 2 \right)$ có phương trình là
A. $x+y-4=0$
B. $y-3=0$
C. $3y-1=0$
D. $x-1=0$

Solution

Mặ cầu $\left(S \right)$ có tâm $I\left(1; 0; 2 \right)$, mặt $\left(P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu tại A nên có vtpt là $\overrightarrow{IA}=\left(0; 3; 0 \right)$ có phương trình $\left(P \right):0\left(x-1 \right)+3\left(y-3 \right)+0\left(z-2 \right)=0\Leftrightarrow \left(P \right):y-3=0$

Đáp án B.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left(1; 2;-3 \right)$ nhận vec tơ $\overrightarrow{u}\left(-1; 2; 1 \right)$ làm vec tơ chỉ phương có phương trình là
A. $\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{1}$.
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+3}{1}$.
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{-1}$.
D. $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+3}{1}$.

Solution

Nhắc lại
Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ nhận vec tơ $\overrightarrow{u}\left({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}} \right)$ làm vec tơ chỉ phương có phương trình là chính tắc có dạng $\dfrac{x-{{x}_{0}}}{{{a}_{1}}}=\dfrac{y-{{y}_{0}}}{{{a}_{2}}}=\dfrac{z-{{z}_{0}}}{{{a}_{3}}}$

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P \right):2x-3z+1=0$. Tìm một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P \right)$
A. $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left(2; 3; 1 \right)$.
B. $\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left(2;-3; 1 \right)$.
C. $\overrightarrow{{{n}_{3}}}\left(2; 0;-3 \right)$.
D. $\overrightarrow{{{n}_{4}}}\left(2;-3; 0 \right)$.

Solution

Đáp án C.

 

Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+6z-11=0$. Tọa độ tâm của mặt cầu $\left(S \right)$ là $I\left(a; b; c \right)$. Tính $a+b+c$.
A. $-1$.
B. 1.
C. 0.
D. 3.

Solution

Từ phương trình mặt cầu ta xác định được $a=1; b=1; c=-3\Rightarrow a+b+c=-1$

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Trong mặt phẳng $Oxy$, điểm biểu diễn của số phức $z=-4+5i$ có tọa độ là
A. $\left(-4; 5 \right)$.
B. $\left(-4;-5 \right)$.
C. $\left(4;-5 \right)$.
D. $\left(5;-4 \right)$.

Solution

Đáp án A.