Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{\sqrt{1+2{x}}-1}{x}\,\,\,\,\,\,\, khi\, x>0 \\ & 1+3{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, khi\,\,\, x\le 0 \\ \end{aligned} \right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng.
A. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số gián đoạn tại $x=3$.
C. Hàm số gián đoạn tại $x=0$. .
D. Hàm số gián đoạn tại $x=1$. .

Solution

Hàm số $y=f\left(x \right)$ xác định trên $R$.
Với $x>0$ ta có hàm số $f\left(x \right)=\dfrac{\sqrt{1+2\text{x}}-1}{x}$ liên tục trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.
Với $x<0$ ta có $f\left(x \right)=1+3x$ liên tục trên khoảng $\left(-\infty; 0 \right)$.
Với $x=0$ ta có: $f\left(0 \right)=1$ $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(1+3\text{x})=1$. $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left(\dfrac{\sqrt{1+2\text{x}}-1}{x} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left(\dfrac{2\text{x}}{x\left( \sqrt{1+2\text{x}}+1 \right)} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left(\dfrac{2}{\left( \sqrt{1+2\text{x}}+1 \right)} \right)=1$.
Vì $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=f(0)$, nên hàm số liên tục tại $x=0$. Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ 1; 5 \right]$ và $f(1)=2, f(5)=10$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình $f(x)=6$ vô nghiệm.
B. Phương trình $f(x)=7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; 5)$.
C. Phương trình $f(x)=2$ có hai nghiệm $x=1, x=5$.
D. Phương trình $f(x)=7$ vô nghiệm.

Solution

Đặt $g(x)=f(x)-m$.
Vì $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ 1; 5 \right]$ nên $g(x)$ liên tục trên $\left[ 1; 5 \right]$. Ta xét các trường hợp sau:
+ Với $m=6$ $\Rightarrow g(x)=f(x)-6$.
Ta có: $g(1). G(5)=(f(1)-6).(f(5)-6)=(2-6).(10-6)=-16<0$.
Suy ra phương trình $g(x)=0\Leftrightarrow f(x)=6$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; 5)$.
Vậy A sai.
+ Với $m=7$ $\Rightarrow g(x)=f(x)-7$.
Ta có: $g(1). G(5)=(f(1)-7).(f(5)-7)=(2-7).(10-7)=-15<0$.
Suy ra phương trình $g(x)=0\Leftrightarrow f(x)=7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; 5)$.
Vậy B đúng, D sai.
+ Với $m=2$ $\Rightarrow g(x)=f(x)-2$.
Ta có: $g(5)=f(5)-2=10-2=8\ne 0$ Suy ra $x=5$ không là nghiệm của phương trình $g(x)=0$ hay $f(x)=2$.
Vậy C sai.
Ghi nhớ:
Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ a; b \right]$ và $f(a). F(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(a; b)$.

Đáp án B.

 

Câu hỏi: Cho phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-2m+2=0$ ( $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}; {{x}_{2}}; {{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}$ ?
A. $0$
B. $3$.
C. $5$.
D. Vô số

Solution

Ghi nhớ: Nếu hàm số $y=f\left(x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a; b \right]$ và $f\left(a \right). F\left(b \right)<0$ thì phương trình $f\left(x \right)=0$ có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng $\left(a; b \right)$.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a+c>b+1$ và $4a+2b+c<-8$. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$ bằng
A. $0$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.

Solution

Đáp án B.

 

Câu hỏi: Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $4a+b>8+2b$ và $a+b+c<-1$. Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$ bằng
A. $0$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.

Solution

Xét hàm số $f\left(x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ Theo giả thiết $4a+c>2b+8\Leftrightarrow -8+4a-2b+c>0\Rightarrow f\left(-2 \right)>0$ ; $a+b+c<-1\Leftrightarrow 1+a+b+c<0\Rightarrow f\left(1 \right)<0$ Ta có $f\left(x \right)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left({{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \right)=-\infty \\
& f\left(-2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra phương trình $f\left(x \right)=0$ có ít nhất một nghiệm trên $\left(-\infty ;-2 \right)$ $\left(1 \right)$ $f\left(-2 \right)f\left(1 \right)<0$ nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left(-2; 1 \right)$ $\left(2 \right)$ $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left({{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \right)=+\infty \\
& f\left(1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$ $\left(3 \right)$ Từ $\left(1 \right)$ ; $\left(2 \right)$ và $\left(3 \right)$ ta có phương trình $f\left(x \right)=0$ có ít nhất 3 nghiệm.
Mặt khác $f\left(x \right)=0$ là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình $f\left(x \right)=0$ có đúng 3 nghiệm

Đáp án B.

 

Câu hỏi: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Phương trình $\left(1-{{m}^{2}} \right){{x}^{5}}-3x-1=0$ luôn có nghiệm với mọi m.
B. Phương trình $4\sin x\ -5\cos x=3$ luôn có nghiệm.
C. Phương trình $4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-x=3$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left(-1; 1 \right)$.
D. Phương trình $12\sin x+m\cos x=13$ có nghiệm với $\forall m$.

Solution

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5x-1=0$ có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; 1).
B. Phương trình $2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos 2x+m=0$ có nghiệm với $\forall m$.
C. Phương trình ${{x}^{5}}+7{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+x+2=0$ luôn có nghiệm.
D. Phương trình $3\sin x\ +4\cos x=2$ luôn có nghiệm.

Solution

Đáp án B.

 

Câu hỏi: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Phương trình ${{x}^{2019}}-x+1=0$ luôn có nghiệm.
B. Phương trình $\dfrac{1}{\operatorname{\sin x}}-\dfrac{1}{\cos x}=m$ vô nghiệm với $\forall m$.
C. Phương trình ${{x}^{5}}-{{x}^{2}}-3=0$ có nghiệm thuộc khoảng (0; 2).
D. Phương trình $2\sin x\ +3\cos x=4$ vô nghiệm.

Solution

*Xét phương án A: Xét hàm số $f\left(x\right)={{x}^{2019}}-x+1$. $f\left(-2\right)={{\left(-2\right)}^{2019}}+3;\,\ \ f\left(0\right)=1$ $f\left(-2\right). F\left(0\right)<0$ và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2; 0]. Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; 0). Vậy pt ${{x}^{2019}}-x+1=0$ luôn có nghiệm. Do đó đáp án A: đúng.
*Xét phương án B.
Điều kiện : $\left\{ \begin{aligned}
& \sin x\ne 0 \\
& \cos x\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne k\pi \\
& x\ne \dfrac{\pi }{2}+l\pi \\
\end{aligned} \right., k, l\in \mathbb{Z} $ $ pt \Leftrightarrow \cos x-\sin x=m\sin x.\cos x\Leftrightarrow \cos (x+\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{m}{\sqrt{2}}\cos x.\sin x(1) $ $ m=0: pt(1)\Leftrightarrow \cos (x+\dfrac{\pi }{4})=0$ phương trình có nghiệm.
Vậy đáp án B: sai.
*Xét phương án C: Xét hàm số $f\left(x\right)={{x}^{5}}-{{x}^{2}}-3$. $f\left(0\right)=-3;\,\ \ f\left(2\right)=25$ $f\left(0\right). F\left(2\right)=-75<0$ và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 2]. Suy ra phương trình ${{x}^{5}}-{{x}^{2}}-3=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 2). Do đó đáp án C: đúng.
*Xét phương án D: Phương trình $2\sin x\ +3\cos x=4 \left(1\right)$ Điều kiện có nghiệm: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$ $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{2}^{2}}+{{3}^{2}}=13 \\
& {{c}^{2}}={{4}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}}$. Do đó pt (1) vô nghiệm. Vậy đáp án D: đúng.

Đáp án B.

 

Câu hỏi: Cho phương trình $\left(2{{m}^{2}}-5m+2 \right){{\left(x-1 \right)}^{2017}}\left({{x}^{2018}}-2 \right)+2{{x}^{2}}+3=0$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình có nghiệm.
A. $m\in \left(-\infty ;\dfrac{1}{2} \right)\cup \left(\dfrac{1}{2}; 2 \right)\cup \left(2;+\infty \right)$.
B. $m\in \left(-\infty ;\dfrac{1}{2} \right)$
C. $m\in \left(\dfrac{1}{2}; 2 \right)$
D. $m\in \left(2;+\infty \right)$

Solution

Xét hàm số $f\left(x \right)=\left(2{{m}^{2}}-5m+2 \right){{\left(x-1 \right)}^{2017}}\left({{x}^{2018}}-2 \right)+2{{x}^{2}}+3$.
Hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
* Trường hợp 1: Nếu $2{{m}^{2}}-5m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Khi đó ta được $ f\left(x \right)=2{{x}^{2}}+3 $, dễ thấy phương trình $ f\left(x \right)=0$ vô nghiệm.
* Trường hợp 2: Nếu $2{{m}^{2}}-5m+2\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne 2 \\
& m\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Khi đó đa thức $ f\left(x \right) $ có bậc bằng $ 4035$ (bậc lẻ).
Ta có $f\left(0 \right)=3>0$.
i) Nếu $2{{m}^{2}}-5m+2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $, khi đó $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=-\infty $ nên tồn tại số thực $ a<0 $ sao cho $ f\left(a \right)<0$.
Từ đó ta được $f\left(a \right). F\left(0 \right)<0$, nên phương trình có nghiệm trong khoảng $\left(a; 0 \right)$ do đó phương trình có
nghiệm.
ii) Nếu $2{{m}^{2}}-5m+2<0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<m<2$, khi đó $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=-\infty $ nên tồn tại số thực $b>0$ sao cho $f\left(b \right)<0$.
Từ đó ta được $f\left(0 \right). F\left(b \right)<0$, nên phương trình có nghiệm trong khoảng $\left(0; b \right)$ do đó phương trình có
nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm khi $m\in \left(-\infty ;\dfrac{1}{2} \right)\cup \left(\dfrac{1}{2}; 2 \right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Cho hàm số $f\left(x \right)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{2{{{x}}^{2}}+3{x}-2}{x+2}{ khi }x\ne -2 \\ & {{m}^{2}}{+mx}-8{ khi }x=-2{ } \\ \end{aligned} \right.$ Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại $x=-2$
A. $2$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $5$.

Solution

Hàm số $y=f\left(x \right)$ xác định trên $R$. $f\left(-2 \right)={{m}^{2}}-2m-8$ ; $\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}-2}{x+2}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left(2\text{x}-1 \right)\left(x+2 \right)}{x+2}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\left(2\text{x}-1 \right)=-5$.
Để hàm số liên tục tại $x=-2$ thì
$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=f\left(-2 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-8=-5\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.$
Vây, tổng các giá trị của tham số m bằng 2.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Tìm ${m}$ để hàm số ${f (x) = \left\{ \begin{array} { l l } { \dfrac { \sqrt { 1 - x } - \sqrt { 1 + x } } { x } } & { { khi } x < 0 } \\ { m + \dfrac { x ^ { 3 } - 3 x + 1 } { x + 2 } } & { { khi } \quad x \geq 0 } \end{array} \right.}$ liên tục tại ${x _ { 0 } = 0}$.
A. ${m = - \dfrac { 3 } { 2 }}$.
B. ${m = \dfrac { 3 } { 2 }}$.
C. ${m = - \dfrac { 2 } { 3 }}$.
D. ${m = \dfrac { 2 } { 3 }}$.

Solution

Ghi nhớ: Hàm số ${y = f (x)}$ liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ khi và chỉ khi $f\left({{x}_{0}} \right)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\, f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,(x)$

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Tìm ${m}$ để hàm số ${f (x) = \left\{ \begin{array} { c c } { \dfrac { x ^ { 2 } + x - 2 } { x - 1 } } & { { khi } x > 1 } \\ { - x + m ^ { 2 } } & { { khi } x \leq 1 } \end{array} \right.}$ liên tục tại điểm ${x = 1}$.
A. ${m = \pm 2}$.
B. ${m = 2}$.
C. ${m = - 2}$.
D. ${m > 2}$.

Solution

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Tìm $m$ để hàm số ${f (x) = \left\{ \begin{array} { c c } { \dfrac { x ^ { 2 } - x - 2 } { x + 1 } } & { { khi } x > - 1 } \\ { m x - 2 m ^ { 2 } } & { { khi } x \leq - 1 } \end{array} \right.}$ liên tục tại điểm $x=-1$.
A. ${\left[ \begin{array} { l } { m = 1 } \\ { m = - \dfrac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.}$
B. $m<1$
C. $m> - \dfrac{ 3 }{ 2 } $
D. $m=1$

Solution

Ta có:
+ ${\lim _ { x \rightarrow - 1 ^ { + } } f (x) = \lim _ { x \rightarrow - 1 ^ { + } } \dfrac { x ^ { 2 } - x - 2 } { x + 1 } = \lim _ { x \rightarrow - 1 ^ { + } } \dfrac { (x + 1) (x - 2) } { x + 1 } = \lim _ { x \rightarrow - 1 ^ { + } } (x - 2) = - 3}$ + $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left(mx-2{{m}^{2}} \right)=-m-2{{m}^{2}}=f(-1)$.
Hàm số liên tục tại điểm ${x = - 1}$ khi và chỉ khi
$\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f(x)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f(x)==f(-1)\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
m=1 \\
m=-\dfrac{3}{2} \\
\end{array} \right.$.
Vậy với ${\left[ \begin{array} { l } { m = 1 } \\ { m = - \dfrac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.}$ thì hàm số liên tục tại điểm ${x = - 1}$.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Cho hàm số $f\left(x \right)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{{x}^{3}}+8x+m}{x-1}\ khi\ x\ne 1 \\ & n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x=1 \\ \end{aligned} \right.$, với $m$, $n$ là các tham số thực. Biết rằng hàm số $f\left(x \right)$ liên tục tại $x=1$, khi đó tổng giá trị $m+n$ bằng:
A. 4.
B. 1.
C. 0.
D. 2.

Solution

Với $x\ne 1$ ta có: $f\left(x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+8x+m}{x-1}={{x}^{2}}+x+9+\dfrac{m+9}{x-1}$.
Vì $f\left(x \right)$ liên tục tại $x=1$ nên $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=f\left(1 \right)$ hữu hạn. $\Rightarrow m+9=0$ $\Rightarrow m=-9$.
Do đó: $n=f\left(1 \right)={{1}^{2}}+1+9=11$.
Vậy $m+n=-9+11=2$.

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Tìm $a$ để hàm số $f\left(x \right)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}\,\,\,\,\, khi\,\,\,\, x\ne 1 \\ & a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, khi\,\,\,\, x=1 \\ \end{aligned} \right.$ liên tục tại điểm ${{x}_{0}}=1$.
A. $a=1$.
B. $a=0$.
C. $a=2$.
D. $a=-1$.

Solution

TXĐ: $D=\mathbb{R}\Rightarrow {{x}_{0}}=1\in D$.
Ta có : $f\left(1 \right)=a$. $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left(x+1 \right)\left(x-1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left(x+1 \right)=2$.
Hàm số $f\left(x \right)$ liên tục tại điểm ${{x}_{0}}=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=f\left(1 \right)\Rightarrow a=2$.

Đáp án C.

 

Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+4}-2}{{{x}^{2}}}\ \ \ \,\, \,\, {khi} \,\,\ x\ne 0 \\ 2a-\dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \,\, {khi} \,\,\ x=0 \\\end{matrix} \right.$. Tìm giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0$.
A. $a=-\dfrac{3}{4}$.
B. $a=\dfrac{4}{3}$.
C. $a=-\dfrac{4}{3}$.
D. $a=\dfrac{3}{4}$.

Solution

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+4}-2}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left(\sqrt{{{x}^{2}}+4}-2 \right)\left(\sqrt{{{x}^{2}}+4}+2 \right)}{{{x}^{2}}\left(\sqrt{{{x}^{2}}+4}+2 \right)}$ $\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+4-4}{{{x}^{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+4}+2)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}+2}=\dfrac{1}{4}$. $f(0)=2a-\dfrac{5}{4}$.
Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, f(x)=f(0)$ $\Leftrightarrow 2a-\dfrac{5}{4}=\dfrac{1}{4}$ $\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{4}$.
Vậy $a=\dfrac{3}{4}$.

Đáp án D.

 

Câu hỏi: Cho hàm số $f\left(x \right)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{2{{x}^{2}}-3x+1}{2\left(x-1 \right)}\,\,\,\,\, \,\, {khi} \,\,\,\, x\ne 1\, \\ & m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\, {khi} \,\,\,\, x=1 \\ \end{aligned} \right.$. Tìm $m$ để hàm số $f\left(x \right)$ liên tục tại $x=1$.
A. $m=0,5$.
B. $m=1,5$.
C. $m=1$.
D. $m=2$.

Solution

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ Ta có $f\left(1 \right)=m$.
Có $\underset{x\to 1}{\mathop{\text{lim}}}\, f\left(x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\text{lim}}}\,\dfrac{2{{x}^{2}}-3x+1}{2\left(x-1 \right)}\,\,=\underset{x\to 1}{\mathop{\text{lim}}}\,\dfrac{2\left(x-1 \right)\left(x-\dfrac{1}{2} \right)}{2\left(x-1 \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\text{lim}}}\,\left(x-\dfrac{1}{2} \right)=0,5$.
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi $f\left(1 \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\text{lim}}}\, f\left(x \right)$ $\Rightarrow m=0,5$.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & 1+ \cos x { khi } \sin x \ge 0 \\ & 3- \cos x { khi } \sin x < 0 \\ \end{aligned} \right.$. Hàm số có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng $\left(0; 2019 \right)$ ?
A. Vô số
B. $320$
C. $321$
D. $319$

Solution

*/ Trên các khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right);\left(\pi +k2\pi; 2\pi +k2\pi \right), k\in \mathbb{Z}$ hàm số $f(x)$ luôn xác định nên hàm số liên tục.
*/ Xét tại các điểm
+/ TH1: $x=k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& f(k2\pi)=2 \\
& \underset{x\to {{(k2\pi)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{(k2\pi)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left(1+\cos x \right)=2 \\
& \underset{x\to {{(k2\pi)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{(k2\pi)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left(3-\cos x \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{(k2\pi)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{(k2\pi)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=f(k2\pi)=2$
Suy ra hàm số liên tục tại các điểm $x=k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ +/ TH2: $x=\pi +k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& f(\pi +k2\pi)=0 \\
& \underset{x\to {{(\pi +k2\pi)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{(\pi +k2\pi)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left(3-\cos x \right)=4 \\
& \underset{x\to {{(\pi +k2\pi)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{(\pi +k2\pi)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left(1+\cos x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{(\pi +k2\pi)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)\ne \underset{x\to {{(\pi +k2\pi)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=f(\pi +k2\pi)$
Suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm $x=\pi +k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ */ Xét các điểm mà hàm số gián đoạn trên khoảng $\left(0; 2019 \right)$ Do: $x\in \left(0; 2019 \right)\Leftrightarrow 0<\pi +k2\pi <2019, k\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}<k<\dfrac{2019}{2\pi }-\dfrac{1}{2}, k\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow k\in \left\{ 0; 1; 2;...; 320 \right\}$ Vậy, chọn đáp án C.

Đáp án C.

 

Câu hỏi: Hàm số $f\left(x \right)=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+7x+12}$ liên tục trên khoảng nào sau đây?
A. $\left(3{ ; }4 \right)$.
B. $\left(-\infty { ; }4 \right)$.
C. $\left(-4{ ; 3} \right)$.
D. $\left(-4{ ; +}\infty \right)$.

Solution

Điều kiện xác định ${{x}^{2}}+7x+12\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -4 \\
& x\ne -3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\!\!\backslash\!\!\left\{ -4;-3 \right\}=\left(-\infty \text{ ; }-4 \right)\cup \left(-4\text{ ; }-3 \right)\cup \left(-3\text{ ; }+\infty \right)$.
Vì $f\left(x \right)=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+7x+12}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng khoảng của tập xác định của nó.
Do vậy hàm số $f\left(x \right)=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+7x+12}$ liên tục trên mỗi khoảng $\left(-\infty \text{ ; }-4 \right)$ và $\left(-4\text{ ; }-3 \right)$ và $\left(-3\text{ ; }+\infty \right)$. Đối chiếu các đáp án ta chọn A.

Đáp án A.

 

Câu hỏi: Cho hàm số $f\left(x \right)=\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{\sqrt{5x-1}-2}{x-1}, x>1 \\ & mx+m+\dfrac{1}{4}, x\le 1 \\ \end{aligned} \right.$ ( $m$ là tham số). Giá trị của $m$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ là:
A. $m=0$.
B. $m=\dfrac{1}{2}$.
C. $m=2$.
D. $m=1$.

Solution

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ Hàm số liên tục trên $\left(-\infty; 1 \right)$ và $\left(1;+\infty \right)$ $f\left(1 \right)=2m+\dfrac{1}{4}$ $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left(mx+m+\dfrac{1}{4} \right)=2m+\dfrac{1}{4}$ $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\, f\left(x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{5x-1}-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{5x-1-4}{\left(x-1 \right)\left(\sqrt{5x-1}+2 \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{5}{\sqrt{5x-1}+2}=\dfrac{5}{4}$ Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm $x=1$ $\Leftrightarrow 2m+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$.

Đáp án B.